Daniele Gouthier racconta la 'sua' scienza dei numeri: 'La matematica che conta' in libreria dal 3 marzo

Nell'intervista con Rossana D'Ambrosio il docente e studioso anticipa alcune tematiche del suo volume, da Pitagora a Einstein.

Leggere, scrivere e far di conto erano i tre obiettivi dell’istruzione primaria, negli anni Sessanta simboleggiati dal programma televisivo “Non è mai troppo tardi”. “Literacy” oggi indispensabili all’inclusione sociale, consapevolezza civica e partecipazione attiva, per le quali in Italia l’abilità del “far di conto” risulta spesso penalizzata. A raccontare come la matematica sia presente nel quotidiano è il divulgatore Daniele Gouthier - matematico scrittore e docente alla Sissa di Trieste – con il saggio “La matematica che conta”, in libreria dal 3 marzo per la casa editrice Feltrinelli. Nell’intervista rilasciata alla nostra redazione affronta enigmi, segreti della natura e reti Internet passando attraverso Pitagora o Lewis Carroll, per spiegare ai lettori quanto davvero “conti” la matematica nella nostra vita.

Matematica, istruzioni per l’uso: un consiglio pratico, da fornire a chi intende riprenderla in mano? Comincerei a guardarmi attorno per cercare i problemi matematici, che andrebbero vissuti come fossero una settimana enigmistica, momenti di relax e riposo giocoso. Guardare a questa disciplina attraverso gli occhi della teoria e degli aspetti formali è qualcosa che conquistiamo dopo, prima è meglio metterci un po’ le mani in pasta. Esistono libri adatti a tutte le età - alcuni anche scritti da me - come “Dare la caccia ai numeri” e “Matematica per giovani menti” o le raccolte di livello intermedio “Scoperte, problemi e sfide”. Senza dimenticare i grandissimi classici di Raymond Smullyan o Martin Gardner; lo stesso papà di “Alice nel paese delle meraviglie” Lewis Carroll scrisse quesiti interessanti. È utile farsi coinvolgere da domande, problemi o quesiti senza guardarli in modo scolastico, ma come fossero un momento di rilassamento intelligente.

Sul tuo sito personale si legge: «Per tre cose vale la pena di vivere: la matematica, la musica e l’amore». Tutti siamo stati innamorati, ma non tutti siamo capaci d’amare. Questa frase non è mia, ma dello studioso napoletano del Novecento Renato Caccioppoli, che è anche il protagonista del film di Martone (“Morte di un matematico napoletano”, ndr). Da bambini ci misuriamo col ritmo, la simmetria, il contare. Poi ci sono le aspettative dei genitori che spesso ci allontanano perché pensano che non siamo adatti, e una certa rigidità di come la insegniamo a scuola. Quindi molte persone dalla matematica si allontanano. Non è una cosa naturale come l’amore e la musica, però è anche vero che la matematica appartiene a tutte le culture e a tutti gli uomini e le donne. Non sempre darne una preparazione formalizzata e istituzionalizzata come a scuola aiuta le persone ad apprenderla meglio.

C’è un’operazione che risulta più difficile delle altre? Sui numeri naturali sicuramente è più agevole calcolare addizioni e moltiplicazioni. Concettualmente è più difficile delle altre la divisione, perché può voler dire due cose molto diverse: posso prendere sette panini e dividerli fra due persone, e allora accetto di uscire dal mondo dei numeri naturali e avere mezzo panino (che nei numeri naturali non ho). Quindi c’è una prima divisione che mi chiede una violazione dei numeri come li conosco fino a quel momento. Poi c’è una seconda divisione col resto, o divisione euclidea, per cui se ho sette persone e devo dividerle fra due automobili, non ne calcolo tre e mezza per automobile, perché non è accettabile farne una a metà, almeno nella nostra cultura. Quindi ne mettiamo tre di qua, tre di là, e poi devo decidere cosa fare di quella che resta (cioè del resto): se lasciarla a casa, metterla sulla prima macchina o sulla seconda. Questa è una divisione diversa, che mi porta a parlare di numeri primi e divisibilità. Quindi c’è una prima difficoltà che è concettuale, poi ci sono complessità computazionali, perché fare i calcoli con le divisioni è più complicato che farli con operazioni di addizione e moltiplicazione o sottrazione. Tant’è che l’umanità ha messo in luce i numeri decimali, quelli con la virgola, solo da circa mille anni: in Europa sono arrivati con Fibonacci, quindi siamo nel Milleduecento, e non è che gli arabi li conoscessero da molto prima. Mentre le frazioni, le divisioni che non calcoliamo (un mezzo vuol dire uno diviso due senza bisogno di calcolarlo), le conoscevano gli egizi, i maya o i sumeri. Le frazioni si incontrano in tutte le civiltà in cui abbiamo ritrovato tracce di matematica, anche andando molto indietro nel tempo. C’è da dire che la divisione è difficile da fare, ma Homo sapiens è stato abbastanza intelligente da inventare un altro modo di lavorare sulle divisioni senza calcolarle. Quindi quanto conta la matematica, nella vita di tutti i giorni? Dipende cosa intendiamo per “vita di tutti i giorni”. Condiziona molte nostre decisioni pubbliche, private e professionali. Le può influenzare direttamente, per calcolare gli interessi di un mutuo o decidere quale forma di abbonamento è migliore per la palestra: se pagare trenta euro al mese oppure dieci al mese e due euro a ingresso, e quindi risolvere un problema di ottimo che valuti la soluzione ottimale. Centra se dobbiamo calcolare la misura massima di un tavolo che può passare attraverso un corridoio, ma anche perché molta della società attorno a noi, sia nelle decisioni sia negli strumenti che ci circondano, ha radici matematiche profonde. Il cellulare con il quale ci stiamo parlando non esisterebbe senza tantissima matematica, oggi l’intelligenza artificiale è uno dei regni della matematica che sta impattando su di noi. Internet è una struttura di grafo, in uno degli ultimi capitoli del libro parlo di come sono fatte le reti. Organizzare un sistema in un modo o nell’altro vuol dire far fruire l’informazione in maniera più o meno libera, più o meno efficace. Pensiamo da quante reti siamo attorniati: abbiamo Internet, con i dati, le reti dell’acqua, dell’elettricità.

Molti fenomeni naturali sono fenomeni a rete. Poi, compare nelle tecnologie e decisioni da assumere: spesso per andare alla natura delle cose dobbiamo creare un modello. Vale a dire astrarre dalle proprietà caratteristiche reali dei fenomeni osservati, per ottenere soltanto una struttura logica. Esistono altri due campi in cui può essere presente, forse in modo anche più evidente: nel calcolo di probabilità e nel linguaggio. In quest’ultimo, una parte interessante della matematica è la logica, in quanto studia le proprietà dei connettivi “e” “o” “non”. Dove il saperli usare con un pensiero razionale fornisce uno strumento di comprensione più attento, in un’epoca in cui siamo circondati da bufale, fake news o affermazioni di chi ha potere decisionale ma usa la logica male. Nella probabilità si studiano invece i rischi. Uno degli aspetti che mi preoccupano dei tempi che stiamo vivendo è che vorremmo costruirci situazioni a rischio zero dove tutto sia sicuro. Lo noto negli organismi pubblici, nell’organizzazione della scuola e della sanità, in cui ci si sforza di creare situazioni senza rischio. Il problema è che nei sistemi viventi il rischio zero non esiste. Gli unici ad avere il rischio zero sono i morti e i sassi. E dato che noi non siamo ancora morti e sicuramente non siamo sassi, qualcosa può succedere e il rischio non sarà mai zero. La teoria della probabilità studia non i fatti certi ma quanto possiamo in modo condiviso avere previsioni su come andranno alcuni eventi, a partire dalle ipotesi e misurandone il rischio. Possiamo scommettere sull’esito degli eventi, ciò che mettiamo in atto quando compiamo una scelta. Nell’attraversare la strada sulle strisce, sono prudente e scommetto che tutto vada bene in modo controllato. La matematica può avvicinarci al rischio consapevoli che il rischio zero non lo avremo mai nemmeno nell’azione più sicura al mondo, per questo è necessario comprenderla. Quando si conoscono le cose non le guardiamo con paura, ma si gestiscono meglio.

Tu sei anche autore di manuali scolastici, di una fra le materie più temute dagli studenti. Esistono strategie in grado di avvicinare i ragazzi a questa disciplina? Penso di sì, ma il problema è complesso. Stando più vicino allo spirito della tua domanda, cioè sui manuali, credo che le difficoltà vengano anche da come la società guarda alla matematica, da come le famiglie si aspettano che sia l’apprendimento di questa disciplina. Hanno molte più attese sulla matematica che su altre materie, in positivo e negativo. Lo sforzo che dovremmo fare è di non imporre un insegnamento solo basato su calcolo, espressioni ed equazioni - comunque importanti - ma aggiungere l’argomentazione, il parlare o il saper giustificare ciò che si sta facendo. E poi aggiungere una dimensione narrativa: conoscendo la storia dell’anagrafica, per quale motivo si studia la storia della letteratura e della filosofia e non quella della matematica? Nella testa delle persone pare che i risultati raggiunti siano esistiti da sempre, ma non è vero, hanno una storia. C’è un signor Pitagora, un prima e un dopo. Ci sono alcuni teoremi, conosciamo in modo documentato quando sono stati dimostrati. Se affiancassimo al calcolo la scrittura di testi a riguardo o la lettura di storia della matematica anche solo in forma divulgativa, credo daremmo cittadinanza a studenti che si sentono esclusi dalle ore di questa materia, perché gli chiediamo solo di calcolare. Forse, se facessimo sentire loro più adeguati in altre situazioni, anche nei momenti in cui devono calcolare lo farebbero con meno ansia e meno senso di inadeguatezza. Se ho preso sette in un’interrogazione di storia della matematica, quando devo fare i calcoli mi metto in gioco in un modo diverso che se prendo sempre tre. Credo che le strategie possano essere messe in campo, ma mettere le mani nella scuola italiana non è mai facile.

Enigmi, problemi e giochi servono ad allenare la mente e a simpatizzare con i numeri. Mentre enigmi e giochi stimolano adulti e bambini, i problemi vengono accolti come scoglio indecifrabile. È la veste con cui vengono presentati, a far paura? Un po’ la veste, un po’ il fatto che richiedono un pensiero autonomo. Di fronte a un problema, che non sia solo la traduzione in parole di un’espressione matematica, serve autonomia. E oggi l’autonomia di fronte all’apprendimento e alla conoscenza non è così diffusa, molti studenti hanno bisogno di essere tenuti per mano. Una delle domande che si sente maggiormente nelle ore di matematica è: “Prof, come si fa?”. Gli studenti vogliono la ricetta, che invece dovremmo trovare dentro di noi, e non essere data da altri. Di fronte allo stesso problema, io posso trovare una via, tu un’altra, una terza persona una diversa. È giusto così, e anche vedere che uno stesso problema si può affrontare in modi differenti è un elemento formativo. Non è vero che c’è sempre un’unica via per arrivare alla soluzione. La matematica consiste nel mettere in relazione idee diverse: quando dico che l’area è uguale alla base per l’altezza, ho due concetti: lo spazio occupato dal rettangolo e le misure dei due lati. E scopro che c’è una relazione, fra questi due, che uno è il prodotto degli altri. Conoscere queste relazioni vuol dire avere indicazioni sulle scelte da compiere. Se intendo scoprire la base di un rettangolo, può aiutarmi conoscere area e altezza: è una strada possibile, pur non essendo l’unica, che mi fornisce una via di comprensione delle cose. Un’autonomia per molti difficile, più impegnativa che replicare dei meccanismi, che in sé non è formativo né interessante. Ritengo che la matematica sia importante per la società non perché le persone debbano imparare logaritmi, trigonometria o altro, ma perché questi rappresentano uno dei modi di pensare, non l’unico. Non credo neanche sia il migliore, pur avendo dedicato molti anni della mia vita alla matematica. È una delle modalità di pensare di Homo sapiens, un modo che ci accomuna nelle culture e nelle epoche: allora perché non conoscerlo, visto che si è rivelato così potente da nutrire tanta parte della scienza, della nostra cultura, dei modelli per l’economia o dei trasporti? Non conoscerlo vuol dire essere un po’ più disarmati di fronte a tante cose. Certo, con la matematica non apprezzo la bellezza di un tramonto, non ascolto una bella musica, non mi perdo nel guardare un bel quadro, non m’innamoro. Sicuramente leggere un romanzo è altrettanto potente e importante, però perché rinunciare alla matematica e cedere all’impoverimento, piuttosto che sfruttare anche questa finestra culturale?

La leggenda vuole che Einstein andasse male in matematica, ma solo perché in Svizzera dove ottenne il diploma il sistema di voti andava da uno a sei. E lui in algebra, geometria e fisica ottenne sei, formulando di lì a poco la teoria della relatività. Qual è il segreto del processo matematico, e che relazione intercorre con la comprensione di una formula e il risultato finale? Se lo sapessi non sarei qui. È una domandona, che mi pongo spesso anche in altri termini. Non sappiamo bene perché capiamo le cose, a un certo punto accade. Cosa fa un matematico? S’incuriosisce davanti a una domanda cercando di rispondere nel modo più generale possibile. Non gl’interessa tanto la soluzione di quell’equazione o problema, quanto la comprensione di qualcosa che possa generalizzare. Cos’è un processo di astrazione? La matematica è un grande modello astratto. Un processo di astrazione comporta riconoscere caratteristiche stando dietro al concreto, alla realtà, che non dipendono da tutte le caratteristiche reali. Con l’esempio delle automobili io spoglio la realtà: non m’interessa se le sette persone sono giovani o vecchie, maschi o femmine. Nello schema mentale sono sette puntini che dispongo in tre insiemi, così rendo insiemi le due macchine perdendo tutto il resto. E quello che dico vale per sette persone qualsiasi su due macchine qualsiasi, ma anche per sette bicchieri su due vassoi o sette mele in due cestini, e così via. Si tratta di un processo astratto che piace ai matematici: cercare di capire tutto ciò che posso con il minimo delle informazioni che stanno all’essenza delle cose. Se riusciamo a capirlo, possiamo leggere la stessa relazione in millanta casi diversi intorno a noi. È uno schema mentale potente, perché adesso stiamo parlando di numeri, ma pensa a simmetrie e ritmo nello spazio. Riconoscere lo stesso ritmo nel suono o nei fregi di un tempio greco garantisce una comprensione più profonda, fornendo una forma mentis che individua il ritmo quando lo vede. Il matematico si muove perché qualche domanda lo aggancia e incuriosisce, e poi cerca di rispondere andando oltre alla domanda, per comprendere qualcosa di più universale. Che dipende da domanda a domanda: oggi si fa della matematica super astratta, in altre epoche si è fatta con cose legate al concreto.

Persino le api lo sanno: per massimizzare lo spazio e usare meno cera le celle sono esagoni. Dice Platone: “Dio geometrizza sempre”. Già nel quarto secolo Pappo di Alessandria sospettava che la forma esagonale fosse quella più efficiente, ma a dimostrarlo fu nel 1999 Thomas Hales… In natura, gli stessi fiocchi di neve osservati al microscopio si rivelano esagoni di ghiaccio. Per quale motivo le nuove tecnologie, i fenomeni naturali o le dinamiche economiche poggiano sulla matematica? Non so se sono davvero loro che poggiano sulla matematica, o se la matematica è nella nostra testa ed è una chiave di lettura con cui le leggiamo. Questa è una domanda vecchissima: la matematica è stata inventata o è stata scoperta? Hai posto degli esempi, con le api e i fiocchi di neve: sono veramente esagoni? Certo che lo sono, se vedo un alveare li riconosco. Però se andassi a misurarli con precisione, non è che quegli angoli siano proprio di 120 gradi. Se vado a osservare i fiocchi al microscopio, probabilmente quei lati non sono neanche segmenti. C’è un modello nella nostra testa, ma anche nella testa delle api che lo hanno realizzato. Io non penso che Homo sapiens sia l’unico animale che faccia matematica. Il fatto che non siamo capaci di parlare con le api, i cani e i leoni, non implica che api, cani e leoni non abbiano teoremi. Significa semplicemente che non so comunicare con loro per capirci su questo tema, è un limite mio e delle api. Abbiamo linguaggi diversi. Esattamente. Non è che loro sono ignoranti e io sapiente, non penso questo. Ciò che è straordinario per noi e le api è il fatto che esistano modelli semplici da realizzare, ottimali. In effetti, fra tutti i poligoni con i quali posso ricoprire il piano senza lasciare spazio in mezzo – e le api hanno bisogno di questo, perché devono conservare più miele possibile, senza buchi fra una cella e l’altra – quelli che richiedono meno cera per realizzare il perimetro ottenendo più spazio sono gli esagoni. Questo lo si può dimostrare, si fa un conticino non proprio da scuola ma neanche troppo complicato, sicuramente alla portata di un’ape. E questa ricerca, in questo caso la superficie massima contenuta in un perimetro poligonale, è un problema di fronte al quale la natura si è spesso ritrovata. Perché alla fine la vita ha bisogno di cercare meccanismi economici, per cui con meno risorse possibili riesco a realizzare ciò che serve. Certo, le api avrebbero potuto fare celle triangolari, usando molta più cera e con più fatica. Forse milioni di anni fa ci saranno state api che realizzavano celle così, però erano meno adatte alle risorse limitate. E quindi chi riesce ad essere più efficiente è avvantaggiato nel gioco dell’evoluzione. Anche Internet ha la struttura di una rete e un grafo, oggi lo studiamo, ma non è nato con l’idea della struttura raffinatissima. È stato creato per rispondere alla nostra esigenza di connetterci. Connessione che, diventando ottimale, risponde anche a regolarità matematiche.

Proseguiamo con i teoremi. Un teorema nasce quando supera tutte le prove. Ma che percorso segue, per svilupparsi? C’è una fase, che a scuola trascuriamo tantissimo, che è di intuizione. Un matematico si pone una domanda e a un certo punto, prima di aver formalizzato una risposta, intuisce come vanno le cose. Quest’intuizione non è sempre corretta: in alcuni casi si fanno congetture che risultano verificate, in altri no. Quindi c’è una prima parte intuitiva, lavoro nel quale i matematici cominciano a fare esempi: quali oggetti, forme o figure hanno queste caratteristiche? Nell’indagine, poco alla volta emergono le relazioni. Il punto d’arrivo – la dimostrazione – è mettere assieme relazioni che partono dalle nostre ipotesi. Considerando il triangolo rettangolo come ipotesi di partenza, costruisco sui lati tre quadrati, e con le relazioni che riesco a indagare seguo un percorso che mi dice: “Ho la somma dei quadrati sui cateti equivalente al quadrato sull’ipotenusa” (teorema di Pitagora, ndr). Questo sarà il punto d’arrivo. Alla fine, dopo aver intuito e indagato delle relazioni parziali, c’è una fase in cui si schematizza tutto e si fa un discorso organico condivisibile con gli altri. Una dimostrazione è il racconto di un percorso mentale: io ti spiego come ho pensato il mio, tu puoi fare un altro percorso, se è altrettanto logico e arriva alle stesse conclusioni va benissimo. Del teorema di Pitagora ci sono oltre 600 dimostrazioni non riconducibili l’una all’altra, c’è spazio per tutti. E anche questo è bello, capisco la stessa cosa in modi estremamente diversi, l’importante è che tutti i 600 modi siano raccontabili senza che crolli il palco. In questo senso la matematica è comune a epoche e culture diverse, i cui ragionamenti sono nati da ipotesi iniziali.

Citando Baudelaire: la matematica è “una foresta di simboli” che l’umanità è chiamata a decifrare, oppure non è nient’altro che evidenza al di là del nostro naso? Esiste forse una relazione con la poesia? I simboli sono qualcosa di molto recente, in matematica. Nel senso che quelli come li conosciamo, delle x e y o delle derivate, più o meno nascono nel Cinquecento. Hanno cinque o seicento anni, mentre la scrittura migliaia di anni, stiamo parlando di scale diverse. Sicuramente c’è una foresta di simboli in cui orientarsi, però è vero che i fatti matematici si sono compresi e dimostrati anche senza questi simboli. Pensa ad Archimede e Pitagora: non sapevano scrivere i numeri come facciamo noi, li indicavano con le lettere greche di alfa, beta o gamma. Eppure, sapevano ragionare sulla divisione altrettanto bene rispetto a noi e forse anche meglio. C’è una certa evidenza dei fatti matematici, indipendentemente da come li esprimiamo. Che la matematica abbia a che fare con la poesia? A noi piace molto ragionare in termini di bellezza, ci sono dimostrazioni che funzionano benissimo ma sono considerate brutte perché non hanno un’armonia fra i modi in cui arrivi alla comprensione di quel fatto e la natura del fatto stesso. Perché sono troppo complicate, o prendono vie ancora poco chiare. In matematica c’è quindi un’attenzione alla bellezza del pensiero e questo un po’ l’accomuna alla musica e alla poesia. Quello che più l’avvicina alla poesia è il fatto che per capire qualcosa di nuovo, non necessariamente in modo assoluto ma per te che ti ci stai avvicinando, serve mettere in gioco l’immaginazione. E questa è sicuramente comune a molte forme d’arte. Io non considero la matematica una scienza: la ritengo una disciplina umanistica in quanto ha a che fare con il nostro pensiero, e per certi versi ha più i tratti di un’arte che di una scienza. Anche se poi l’immaginazione viene esercitata su qualcosa di molto astratto e lontano dalle nostre esperienze. Parlando di un suo ex studente il matematico d’inizio Novecento David Hilbert disse, con una punta di cattiveria: “Costui è totalmente privo d’immaginazione; infatti, ha smesso di fare matematica e ora è un ottimo poeta”. 

(Foto, cc Fotodinamiche) 

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